Биссектриса — это луч разрезающий угол пополам, а также отрезок в треугольнике обладающий рядом свойств

Здравствуйте уважаемые читатели блога. Сегодня мы поговорим о таком члене, как биссектриса.

Это понятие широко используется в геометрии. И все школьники в России знают его уже в пятом классе. И потом это значение часто используется для решения различных задач.

Биссектриса — это…

Потом,

Биссектриса — это луч, выходящий из вершины треугольника и делящий его ровно на две части.

Под биссектрисой принято понимать также длину отрезка (что это такое?), который начинается в вершине треугольника, а заканчивается на стороне, противоположной этой вершине.

Существует также понятие «биссектриса угла», которая является лучом и точно так же делит угол (любой, не обязательно треугольник) пополам:

Само понятие биссектрисы пришло к нам из латыни. И название очень показательное. Он состоит из двух слов: «би» означает «двойной, пара», а «секцио» буквально можно перевести как «разрезать, делить».

Вот и получается, что само слово биссектриса «разрезано пополам», что собственно и отражено в только что данном определении термина.

А теперь задача по закреплению материала. Посмотрите на эти рисунки и скажите, на каком из них изображена биссектриса. Мысль? Правильно, во втором.

В первом луче, выходящем из угла АОВ, он явно не делит его пополам. Во втором случае это соотношение углов более очевидно, и поэтому луч OD можно считать БИССЕКСТОРОЙ. Хотя, конечно, на сто процентов сказать сложно.

Для более точного определения используют специальные инструменты. Например, транспортер. Это такой инструмент в форме полусферы из металла или пластика. Вот как это выглядит:

Хотя есть и другие варианты:

Я уверен, что у каждого был такой в ​​школе. И они очень просты в использовании. Нужно только равномерно совместить основание транспортира (прямоугольной линейки) с основанием треугольника, а затем отметить на полусфере значение, соответствующее величине угла.

И точно по такой же схеме можно сделать наоборот – с помощью транспортира начертить угол необходимой величины. Чаще всего от 0 до 180 градусов. Но на втором изображении у нас есть транспортир, который помогает рисовать градусы от 0 до 360.

Количество биссектрис в треугольнике

Но вернемся к нашей основной теме. И ответим на вопрос: сколько биссектрис в треугольнике?

Ответ, в общем-то, логичный, и он заложен в самом названии нашей геометрической фигуры. Треугольник — три угла. А следовательно, и биссектрис будет три, по одной на каждую вершину.

Давайте еще раз посмотрим на наши рисунки. При этом хорошо видно, что треугольник ABC (именно так обозначается эта фигура в геометрии — по названию его вершин) имеет три биссектрисы. Это сегменты AD, BE и CF.

На чертежах БИСЕКТРИИ обозначены следующим образом. Видите простые изогнутые штрихи между сегментами AC/AL1 и AB/AL1? Так определяются углы. И тот факт, что они оба отмечены одинаковыми линиями, указывает на то, что углы равны. Это означает, что отрезок AL1 является биссектрисой.

То же самое относится к углам между AB/DL2 и BC/BL2. Они отмечены одинаковыми двойными черточками. Это означает, что отрезок BL2 является биссектрисой. А углы AC/CL3 и BC/CL3 обозначены тройными черточками. Следовательно, это показывает, что отрезок CL3 также является биссектрисой.

Пересечение биссектрис треугольника

Как видно из рисунков выше, биссектрисы треугольника обладают важным свойством. А именно:

Биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной стороны!

Это правило является аксиомой (что это такое?) и не допускает исключений. Другими словами, это не может быть:

Если вы видите такое изображение, то перед вами точно нет биссектрисы. Во всяком случае, хотя бы одного сегмента нет. Или, может быть, все три.

И еще один интересный факт, связанный с пересечением биссектрис треугольника.

Центр пересечения биссектрис в треугольнике — это центр окружности, которая написана на этом рисунке.

Это свойство биссектрисы угла на самом деле выглядит интересно не только на чертежах. Часто помогает решить сложные проблемы.

Свойство основания биссектрисы

Каждая биссектриса имеет основание. Это точка пересечения со стороной треугольника. Например, в нашем случае это будет точка К.

И с этим основанием связана очень интересная теорема. Она говорит, что

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону, то есть точку основания, на два отрезка. И их отношение равно отношению двух соседних сторон.

Звучит немного тяжело, но на самом деле все довольно просто. Соотношение сегментов, основанное на биссектрисе, равно VC/CS. А отношение смежных сторон равно АВ/АС. И получается, что в нашем случае теорема выглядит так:

ВК/КС = АВ/АС

Интересно, что для этой теоремы будет справедливо и другое утверждение:

ВК/АВ=КС/АС

Что ж, как это часто бывает в математике, это правило работает и в обратном порядке. То есть, если известны длины всех сторон и их пропорции одинаковы, то можно сделать вывод, что перед нами БИССЕКТРИСА и, следовательно, вычислить величину угла треугольника будет проще.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Для начала вспомним, что такое равнобедренный треугольник.

Это такой треугольник, у которого две стороны абсолютно равны (то есть он имеет равные «бедра»).

Итак, в таком треугольнике биссектриса обладает очень интересными свойствами.

Это также медиана (что это такое?) и высота одновременно.

Эти понятия также знакомы нам из школьного курса. Но если кто забыл, обязательно напомним:

  1. Высота: линия, начинающаяся от вершины треугольника и спускающаяся к противоположной стороне под прямым углом.
  2. Медиана – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит противоположную сторону на две равные части.

А в равностороннем треугольнике, или как его еще называют правильном (у которого все стороны и все углы равны), три серединных перпендикуляра являются высотами и медианами. И кроме того, их длины равны.

Это все, что вам нужно знать о таком понятии, как биссектриса. До скорых встреч на страницах нашего блога.

Поделиться:
×
Рекомендуем посмотреть