Что такое аксиома

Здравствуйте уважаемые читатели блога. Мало кто может сформулировать точный ответ на этот вопрос.

Зевая за партой на уроке геометрии, мы краем ушей слышали о пифагорейских штанах и параллельных линиях, которые не должны пересекаться.

С тех пор много воды утекло. Пришло время освежить свои знания. Обещаю, скучно не будет.

Аксиома — что это

Термин образовался от греческого слова аксиома — утверждение, положение. Википедия сообщает, что:

аксиома — это исходное положение теории, принимаемое в рамках этой теории за истинное без требования доказательства и используемое при доказательстве других ее положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Толковый словарь Даля дает более простое определение:

аксиома есть «фундаментальная истина, доказательство, ясное само по себе».

Такое толкование термина отражает отношение древних греков к аксиомам.

В рамках современного научного подхода аксиома рассматривается как некое фундаментальное положение, с которого начинается логическое доказательство. Он не должен быть простым и ясным.

Аксиомы используются для доказательства теорем. В основе всякой теории должно лежать исходное положение, которое считается истинным. Это основа, с которой начинается тест. Если бы аксиом не существовало, то цепь рационализаций продолжалась бы вечно.

Например, мы говорим, что рыбы могут плавать благодаря своим плавникам. Далее мы будем задавать вопрос «почему», требуя каждый раз обоснования исходного утверждения. Почему ласты помогают плавать? И так далее, пока не дойдете до того, что «вода — это жидкость». Если мы не остановимся на этом, то скатимся к рассуждениям об устройстве Вселенной, времени и материи. Цепочка бесконечна.

Аксиома позволяет разорвать цепочку обязательных доказательств, приняв те или иные утверждения за исходные и бесспорные (мы плясали на износ).

Научное сообщество встретилось, посовещалось и решило принять выражение «А=В» как истинное, а несогласных предать анафеме и лечить в психиатрических больницах.

Легче понять социальные аксиомы. Вот вы покупаете в магазине рогалики и даете за них деньги. Что такое деньги по сути? Листки бумаги с распечатанными изображениями и цифрами. Но все согласились, что такая роль имеет ценность.

Это аксиома. Никто не хочет доказательств. Все принимают этот факт как очевидный. В это верят покупатель бублика, продавец, владелец пекарни, поставщики муки, иначе сделка не состоялась бы.

Аксиома действует в пределах определенной сферы, но не вне ее.

Вы взяли бумажник, полный купюр, и отправились в гости к другу из дикого племени Тумба-Юмба. Но никто не берет ваши деньги. Для аборигенов это просто бумажки, пригодные разве что для разжигания костра. В ходу бусы или зубы тигра, которые вас уже не интересуют.

Аксиомы — это наследие далекого прошлого

Термин был впервые использован греческим философом Аристотелем. Он назвал исходную посылку, основу, на которой зиждется доказательство, аксиомой.

Аристотель выделял 2 основные аксиомы:

1. Закон противоречия. Два противоречащих друг другу утверждения не могут быть истинными одновременно. Один из них ложный. Петя говорит, что Коля украл яблоко. Коля показывает на Петю. Некоторые из них лгут.
2. Закон исключенного третьего лица. Любое предложение может быть истинным или ложным. Третьей стороны нет.

Все эти положения очевидны и не нуждаются в доказательстве. Это правда, потому что это правда.

Древнегреческий математик Евклид в своем труде «Начала» выделил утверждения, принимаемые как должное без доказательств. Он разделил их на аксиомы и постулаты, но не объяснил, чем один термин отличается от другого.

В целом можно признать, что аксиома и постулат являются синонимами.

В качестве примера приведу пятый постулат Евклида. Звучит весьма тревожно: «если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних углов одной стороны меньше 180°, то эти прямые пересекаются с достаточным продолжением, и притом со стороны, с которой эта сумма меньше 180°».

Не пугайтесь, смысл этого постулата знаком любому школьнику: «параллельные прямые не пересекаются». Начертите на бумаге две прямые линии, параллельные друг другу. Если они продолжат, то не станут ни ближе, ни дальше, и уж тем более не пересекутся.

Ученые предприняли множество попыток представить это утверждение в виде теоремы, чтобы доказать или опровергнуть его. Венгерский математик Янош Бойяи начал изучать пятый постулат и сошел с ума. Опровержение аксиом — опасное дело!

Мыслители выдвигали разные требования к аксиомам. Аристотель считал, что такое выражение должно быть общепринятым. Если половина людей считает, что А = В, а другая половина с ними не согласна, то речь идет о более чем одной гипотезе.

Рене Декарт считал, что главными критериями аксиомы являются ясность и очевидность.

Выражение должно быть настолько ясным и неоспоримым, чтобы никто никогда не сомневался в нем. Блез Паскаль говорил о недоказуемости.

Если утверждение может быть доказано в принципе, оно не является аксиомой.

Аксиоматический метод

Это способ построения научной теории, когда за основу берутся исходные положения, принимаемые без доказательства. Все остальные выводы логически следуют из них.

Три этапа построения знания аксиоматическим путем:

1. Перечень основных понятий и терминов. Определяется язык, на котором будет написана теория.
2. Выбор аксиом, которые лягут в основу теории.
3. Построение новых предложений логически.

Чтобы было понятнее, давайте создадим сумасшедшую систему аксиом на выдуманном языке. Исходные понятия: «сваны», «курм», рават (родство сванов и курмов).

Система аксиом:

1. на двух сванов найдется хотя бы один равный им курм;
2. две курмы не могут равняться более чем шести сванам;
3. нет двух одинаковых курмов.

Кроме того, на основе этих выражений мы формируем и доказываем теорию.

Выбранный набор аксиом должен удовлетворять требованиям:

1. Последовательность. Исходные позиции не должны противоречить друг другу.
2. Независимость. Ни одна из аксиом не является логическим следствием другой.
3. Я завершаю это. Теория может быть обоснована с помощью этого набора утверждений. Никаких дополнительных положений не требуется.