Что такое целые числа

Здравствуйте уважаемые читатели блога. Сегодня мы поговорим о ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Это очень широкое понятие математики, с которым уже сталкиваются пятиклассники.

Целые числа — это…

Целые числа все положительные, все отрицательные числа и ноль. Главное, чтобы они не содержали дробной части.

Согласно этому определению, к целым числам относятся:

-1256, -35, -9, 0, 14, 95, 2020

и т.д. Ведь у них нет дробной части. А вот и цифры:

0,5, 13,1319, ½, -¾, -237,3

и т д не могут считаться целыми числами, поскольку они имеют несколько цифр после запятой или являются дробью.

Все многообразие целых чисел называется множеством целых чисел. Это официальный математический термин. Y обозначается буквой Z.

В этот набор входят и так называемые натуральные числа (что это?). Это все те, которые имеют положительное значение, но опять же без дробной части. В двух словах, все числа, которые мы используем при счете. Например, 1, 2, 5, 10, 100 и так далее.

Набор натуральных чисел обозначается буквой N. А зависимость этого и набора целых чисел наглядно показана на рисунке ниже.

Отсюда мы можем сделать важный вывод:

Любое натуральное число автоматически также является целым числом. Но в то же время не всякое целое число является еще и натуральным числом.

И вы можете представить это так, как целые числа:

  1. Целые числа;
  2. Нуль;
  3. Отрицательные числа.

Какое бы определение вы ни использовали, главное, чтобы все было понятно.

История изучения целых чисел

Еще раз, эту историю следует разделить на три части. Ведь изучение натуральных чисел, а также открытие нуля и отрицательных чисел произошло независимо друг от друга. Да и в разных странах.

Изучение натуральных чисел

Здесь все максимально просто. Эти числа возникали, как только человеку понадобилось считать, будь то куски мяса или количество бревен для дома.

Более точное изучение натуральных чисел начинается в Древнем Египте и древней Месопотамии, а это более 6 тысяч лет назад.

А современные математики опираются на то, что оставил древнегреческий ученый Пифагор. Он как раз активно собирал египетские и вавилонские данные, а позже отразил их в своих трудах.

Открытие нуля

Конечно, египтяне, вавилоняне и даже греки знали о существовании нуля. Но они не считали это числом и поэтому не использовали его. Это, кстати, доставляло им немало трудностей. Иногда они часами решали задачи, которые нынешний студент рассказал бы за минуту.

Но официально цифра ноль появилась в пятом веке. И он «изобрел» его в Индии. Дело в том, что у местных жителей всегда существовало убеждение, что «ничто — это тоже что-то». Даже понятие нирваны, обозначающее состояние небытия, возникло в Индии.

Вот почему они придумали символ, который означал бы «ничего». Его авторами были математики Брахмагупта и Арьябхата.

Как видите, индийский символ нуля очень похож на современный. Ну, за исключением того, что они сплющены и больше похожи на обычный круг. Форма выбрана не случайно. Согласно индийским верованиям, ноль символизирует круговорот жизни и мироздания. Его также называют «змеем вечности».

Когда арабы завоевали часть Индии, они переняли все математические знания. А во время Крестовых походов многие, в том числе и многочисленные, эмигрировали в Европу. Хотя потребовалось еще несколько сотен лет, чтобы «ноль» стал неотъемлемой частью европейской науки.

Открытие отрицательных чисел

Отрицательные числа впервые были изучены китайцами во 2 веке до нашей эры. Они использовались в торговле и назывались «долгами». А обычные номера — это «собственность». А для записи отрицательных чисел использовали перевернутую форму.

Но в Европе к ним долгое время относились с пренебрежением, считая их «несуществующими» и «абсурдными». Только в двенадцатом веке математик Леонардо Фибоначчи (автор знаменитого ряда чисел) описал их в своей книге «Книга счетов».

В середине шестнадцатого века математик Майкл Штифель посвятил им целый раздел в своей книге «Полная арифметика».

Но признание они получили только в 17 веке, после того как знаменитый Рене Декарт создал свою систему координат.

В нем он также использовал ноль, связав его с положительными и отрицательными числами. Одни были справа от него, другие слева.

Свойства целых чисел

Все целые числа имеют следующие характеристики:

  1. Закрытие. При выполнении математических операций с целыми числами, кроме деления, получаются только целые числа.

    Если A и B — целые числа, то A+B=целое число, AB=целое число и A*B=целое число

  2. Ассоциативность. При сложении или умножении трех и более целых чисел их можно менять местами без изменения результата.

    (А + В) + С = А + (В + С)

  3. Коммутативность. При перестановке местами слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.

    А + В = В + А, А * В = В * А

  4. Если в сложении или вычитании участвует ноль, то значение остается неизменным.

    А + 0 = 0, А — 0 = 0

  5. Противоположный. При сложении одинаковых чисел с разными знаками результат всегда равен нулю.

    А+(-А)=0

  6. Отличие знака. При умножении чисел с разными знаками результат всегда отрицательный. Если признаки совпадают, то результат всегда положительный.

    А*А=АА, А*(-А)=-АА, (-А)*(-А)=АА

Добавим: точно такое же правило действует и при делении. Меньше раз меньше равно больше. Минус, умноженный на плюс, или плюс, умноженный на минус, всегда равняется минусу.

Вместо заключения

Мы уже говорили, как сильно отрицательные числа проникли в нашу жизнь. Но сегодня они широко используются не только в математике.

  1. География. Высота гор измеряется положительными величинами, а глубина водоемов измеряется отрицательными величинами. А уровень моря нулевой.
  2. История. Понятие «наша эпоха» делило историю на положительную и отрицательную хронологию. Все, что произошло более 2 тысяч лет назад, можно описать как «через минус 125 лет» или «через -3000 лет». Хотя чаще говорят «125 а. С.” и «3000 г до н.э. С.».
  3. Лекарство. Для определения остроты зрения врачи используют понятия отрицательной и положительной диоптрий. Идеальное зрение равно нулю. Меньше: миопия (не видит вдаль) и больше: дальнозоркость (не видит вблизи).
  4. Физический. Существуют такие понятия, как положительно и отрицательно заряженные частицы. Одни называются протонами, другие – электронами.

И, наконец, слова положительный и отрицательный также используются в более разговорном смысле, как синонимы хорошего и плохого.

Например, в книгах и фильмах всегда есть положительные и отрицательные персонажи. Более того, наши черты характера, эмоции и действия можно разделить на эти две категории.

Поделиться:
×
Рекомендуем посмотреть