Простые числа — это чудеса деления
Здравствуйте уважаемые читатели блога. Сегодня мы поговорим о таком математическом понятии, как ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.
В школе это происходит в 5-м или 6-м классе, в зависимости от учебной программы.
И что интересно, если спросить у школьников, что такое простые числа, они, скорее всего, ответят правильно.
Но взрослые задумаются и не факт, что точное определение запомнят. Так что эта статья больше для них.
Простые числа — это…
Вот как выглядит официальное определение:
Простые числа — это числа, имеющие только два делителя. Один из них — единица, а другой — само число.
Чтобы было понятнее, возьмем простой пример. Для чисел 5 и 7 нужно найти все возможные делители, чтобы в результате получилось целое число.
Если вы попытаетесь решить эту задачу, то обнаружите, что числа 5 и 7 делятся только на 1 и 5, а также на 1 и 7 соответственно. Во всех остальных случаях вы получите дробное число. А это как раз и означает, что числа 5 и 7 простые.
Но попробуем аналогичным образом проанализировать числа 6 и 9. В первом случае мы получаем, что 6 можно разделить на 1, 2, 3 и 6, а число 9 можно разделить на 1, 3 и 9. А это уже противоречит определению простых чисел, так что 6 и 9 таковыми не являются.
В математике они называются — СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА.
Список и таблица простых чисел
Некоторые ошибочно полагают, что наименьшее простое число равно единице.
С одной стороны, в этом есть логика, так как 1 делится только на 1. Но это оказывается одно и то же число (единица), что противоречит определению простых чисел, где четко сказано, что «должно быть два делителя».
Итак, наименьшее простое число равно 2. И исходный ряд выглядит так:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…
Если хотите, можете проверить эти числа на деление. Мы скажем, что эта серия не является окончательной.
Количество простых чисел не ограничено. Или, говоря математическим языком, стремится к бесконечности.
История простых чисел
Первые упоминания о простых числах относятся к Древнему Египту. В Британском музее есть папирус, датируемый 2000 годом до нашей эры. А в ней, судя по расшифровке, содержится учебник по арифметике.
В том числе и о делении чисел. Этот артефакт называется Папирус Райнда в честь его первого владельца.
В этом документе есть таблица, в которой показаны числа, которые делятся на несколько знаменателей. Более того, они разделены таким образом, что становится ясно, что древние египтяне, может быть, и не использовали понятие «простое число», но, по крайней мере, имели о нем представление.
Итак, первые исследования простых чисел относятся к 300 г до н.э. И связаны они с именем известного древнегреческого математика Евклида.
Как и многое другое, он описал простые и составные числа в своей знаменитой работе «Начала».
В частности, Евклид описал такие вещи, как:
- Основная теорема арифметики;
- Бесконечность прямых номеров;
- Лемма Евклида.
Теперь поговорим об этих понятиях подробнее.
Основная теорема арифметики
Основная теорема арифметики, которую придумал Евклид, гласит:
Любое натуральное число (что это такое?), большее единицы, можно представить в виде произведения простых чисел. Также их количество не ограничено и порядок не важен.
Если обозначить исходное число буквой N, а простые числа буквами P1, P2, P3 и т д., то эту теорему можно записать следующим образом:
Н = П1*П2*П3*…*РК
Например, возьмем число 100. Его можно разбить на следующие простые числа:
100 = 5 * 5 * 2 * 2
Или более сложный пример: число 23244:
23244 = 149*13*3*2*2
Разложить на простые числа несложно. Сначала вы можете делить на 2 и 3, а в конце у вас автоматически получатся более сложные делители.
Ради интереса задумайте любое число и сами найдите его составляющие.
Лемма Евклида
Еще одна теорема, имеющая прямое отношение к простым числам. Она сказала;
Если некоторое простое число P делит произведение чисел X и Y без остатка, то вы можете делить либо X, либо Y таким же образом.
Звучит немного сложно, но на самом деле все довольно просто. Итак, возьмем, например, P = 2, X = 6, Y = 9. И тогда получается, что
Х * У = 6 * 9 = 54
В нашем примере P делит это произведение без остатка:
(Х * У) / Р = 54 / 2 = 27
Таким образом, наше P может делить без остатка и X, и Y. Очевидно, это X:
Х/П = 6/2 = 3
Y/P = 9/2 = 4,5 (не подходит)
Как быстро и легко определить простые числа
И еще одно понятие, связанное с простыми числами. Он назван в честь другого древнегреческого математика, Эратосфена из Кирены.
Этот человек придумал быстрый и простой способ определения простых чисел. В частности, он сделал таблицу, в которой были указаны значения до 1000.
Он нарисовал свою таблицу на глиняной табличке. А потом пробивал те клетки, в которых были написаны составные числа. В результате получается что-то вроде сита, отсюда и название самого метода.
Кстати, пользоваться решетом Эратосфена очень просто. Например, давайте сделаем таблицу до 50.
После этого необходимо зачеркнуть числа, кратные 2, 3, 5, 7 и 11. Результат такой:
Остальные числа являются простыми числами. Вы можете сравнить этот ряд с тем, который мы привели в начале статьи. Точно так же можно составить абсолютно любой ряд простых чисел = хоть до тысячи, хоть до миллиона и больше.
Это все, что мы хотели рассказать о ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ в математике.
