Средняя линия трапеции

Здравствуйте уважаемые читатели блога.

Вернемся к теме трапеций (что это такое?).

А давайте поговорим о том, что представляет собой средняя линия этой геометрической фигуры.

Средняя линия – это…

Вообще этот термин очень распространен в геометрии.

Срединная линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны и делящий их ровно на две одинаковые части.

Почти все геометрические фигуры имеют среднюю линию. Например, для четырехугольников это выглядит так:

И так для треугольников:

И, наконец, в случае трапеции изображение срединной линии будет выглядеть так:

На этом рисунке изображена трапеция ABCD. Если кто забыл, у этой фигуры две противоположные грани, расположенные на параллельных прямых.

Они называются базами. А остальные стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, являются боковыми.

Итак, в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит стороны AB и CD на две половины. То есть:

AE = EB и CF = FD

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть основная формула, позволяющая рассчитать стоимость нашего сегмента.

Значит, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, деленной на два. Или, другими словами, половина суммы оснований.

Возьмем в качестве примера трапецию:

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

Если есть желание доказать истинность этой формулы, нам нужно немного доработать наш первоначальный рисунок. То есть провести линию через B и L, а также продолжить сторону AD. И убедитесь, что эти две линии пересекаются.

В результате происходит вот что:

Также нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Нам нужно доказать, что они одного размера.

И это просто, так как они имеют одинаковые углы:

  1. BLC и QLD — как вертикали;
  2. BCL и QDL — в отличие от существующих параллельных и пересекающихся линий.

Следовательно, если в треугольниках равны углы и стороны между ними, то равны и сами фигуры.

DLQ=BLC

А отсюда следует, что BL и LQ равны. Это означает, что KL является не только средней линией трапеции, но и аналогичной линией треугольника ABQ.

А дальше совсем просто, так как есть специальная формула вычисления средней линии треугольника. Она равна одной секунде (половине) длины параллельной стороны:

КЛ=1/2AQ

Длина стороны AQ равна AD + DQ (или BC). И так мы получаем ту же формулу для вычисления средней линии трапеции:

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + BC)

Как принято говорить в таких случаях, что требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

Средняя линия трапеции имеет три основных свойства:

  1. Он параллелен основаниям трапеции;
  2. Она равна половине суммы оснований (та же самая формула, о которой мы только что говорили);
  3. Разделите исходную трапецию на две меньшие. Кроме того, их области имеют весьма специфические отношения друг с другом. А именно:

    S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)

    Мы не будем проверять эту формулу. Просто поверьте, что это действительно так.

Вторая средняя линия

Внимательный читатель может заметить, что раньше мы говорили только о средней линии. Тот, который лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и у любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.

На самом деле у трапеции есть вторая такая линия. И уже делит оба основания на две равные части:

В нашем случае это сегмент KL.

Интересно, что эта срединная линия редко изучается в школьном возрасте. И нет никаких экзаменационных заданий, связанных с этим. Хотя у него есть несколько интересных свойств:

  1. Диагонали трапеции и этой средней линии пересекаются в точке;
  2. Линия, частью которой является эта линия, пересекает в одной точке те линии, которые совпадают со сторонами;
  3. У равнобедренной трапеции (стороны которой находятся под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом 90 градусов;
  4. В точке, где две средние линии пересекаются, они делятся пополам…

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях трапеции.

Поделиться:
×
Рекомендуем посмотреть